pca原理

1 PCA目标

设X为$n \times m$的特征矩阵，那么X的列协方差矩阵为: $$\mathbf{C} = \frac{1}{n}\mathbf{X^T X} $$ 设想存在线性投影使得: $$\mathbf{Y}=\mathbf{XP}$$ $\mathbf{P}$是$m \times m$阶矩阵，那么$\mathbf{Y}$的列协方差矩阵为: $$\frac{1}{n}\mathbf{Y^T Y} = \frac{1}{n}\mathbf{(XP)^T (XP)} = \mathbf{P^T} (\frac{1}{n}\mathbf{X^T X})\mathbf{P} = \mathbf{P^T C P} $$

PCA基本思想就是找到$\mathbf{P}$对$\mathbf{X}$进行转换，使$\mathbf{Y}$的协方差矩阵只有方差而无协方差（就是要使得$\mathbf{Y}$的协方差矩阵是个对角矩阵），必要的话丢弃小的方差（这需要$\mathbf{P}$为$m \times k$阶矩阵（$k<m$）），根据信息理论，这样可以保留大部分信息，丢掉小方差即丢掉信息含量小的特征从而达到降维的目的。

2 PCA的实现

2.1 回顾特征值和特征向量

求特征值特征向量必须是方阵。

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下： $$\mathbf{A}\vec{w}=\lambda\vec{w}$$ 其中$\mathbf{A}$是$n \times n$矩阵，$\vec{w}$是特征向量，$\lambda$是特征向量对应的特征值。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵$\mathbf{A}$的 $k$（特征值特征向量的个数与矩阵$\mathbf{A}$的秩相同） 个特征值 $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_k$ ，以及这 $k$ 个特征值所对应的特征向量 $\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\dots,\vec{w}_k\}$ 。

如果这 $n$(即特征值特征向量个数$k=n$) 个特征向量线性无关(协方差矩阵是对称矩阵，对称矩阵的特征向量两两正交，因此线性无关)，那么矩阵$\mathbf{A}$就可以用下式的特征分解表示： $$\mathbf{A}=\mathbf{W}\mathbf{\Sigma}\mathbf{W}^{-1}$$ 其中$\mathbf{W}$是$n \times n$矩阵，$\mathbf{\Sigma}$是包含所有n个特征值的$n \times n$主对角矩阵。一般我们会把$\mathbf{W}$的这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 $||\vec{w}_i||_2 =1$ , 或者说 $\vec{w}_i^T\vec{w}_i =1$ ，此时$\mathbf{W}$的 $n$ 个特征向量为标准正交基，满足 $\mathbf{W}^T\mathbf{W}=\mathbf{I}$ 。即 $\mathbf{W}^T=\mathbf{W}^{-1}$ , 也就是说$\mathbf{W}$为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成 $$\mathbf{A}=\mathbf{W\Sigma W^T}$$ 注意到要进行特征分解，矩阵$\mathbf{A}$必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2.2 SVD原理

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵$\mathbf{A}$是一个 $m \times n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵$\mathbf{A}$的SVD为： $$\mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T$$ 其中$\mathbf{U}$是$m \times m$矩阵，$\mathbf{\Sigma}$是$m \times n$矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$\mathbf{V}$是$n \times n$矩阵。$\mathbf{U}$和$\mathbf{V}$都是酉矩阵，即满足 $\mathbf{U^TU}=\mathbf{I}, \mathbf{V^TV}=\mathbf{I}$ 。下图可以很形象的看出上面SVD的定义： 那么我们如何求出SVD分解后的 $\mathbf{U},\mathbf{\Sigma},\mathbf{V}$ 这三个矩阵呢？

如果我们将$\mathbf{A}$的转置和$\mathbf{A}$做矩阵乘法，那么会得到 $n \times n$ 的一个方阵 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 。既然 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式： $$(\mathbf{A}^T\mathbf{A})\vec{v}_i = \lambda_i \vec{v}_i$$ 这样我们就可以得到矩阵 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 的$n$个特征值和对应的$n$个特征向量 $\vec{v}$ 了。将 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 的所有特征向量张成一个 $n \times n$ 的矩阵$\mathbf{V}$，就是我们SVD公式里面的$\mathbf{V}$矩阵了。一般我们将$\mathbf{V}$中的每个特征向量叫做$\mathbf{A}$的右奇异向量。

如果我们将$\mathbf{A}$和$\mathbf{A}$的转置做矩阵乘法，那么会得到 $m \times m$ 的一个方阵 $\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 。既然 $\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式： $$(\mathbf{AA^T})\vec{u}_i = \lambda_i \vec{u}_i$$ 这样我们就可以得到矩阵 $\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 的m个特征值和对应的m个特征向量 $\vec{u}$ 了。将 $\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 的所有特征向量张成一个 $m \times m$ 的矩阵$\mathbf{U}$，就是我们SVD公式里面的$\mathbf{U}$矩阵了。一般我们将$\mathbf{U}$中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

$\mathbf{U}$和$\mathbf{V}$我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 $\Sigma$ 没有求出了。由于 $\Sigma$ 除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 $\sigma$ 就可以了。

我们注意到: $$\mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T \Rightarrow \mathbf{A}\mathbf{V}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T\mathbf{V} \Rightarrow \mathbf{A}\mathbf{V}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma} \Rightarrow \mathbf{A}\vec{v}_i = \sigma_i \vec{u}_i \Rightarrow \sigma_i = \mathbf{A}\vec{v}_i / \vec{u}_i$$ 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 $\mathbf{\Sigma}$ 。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的$\mathbf{V}$矩阵，而 $\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的$\mathbf{U}$矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明：

证明$\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的$\mathbf{V}$矩阵： $$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T \Rightarrow \\ \mathbf{A}^T=\mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^T \mathbf{U}^T \Rightarrow \\ \mathbf{A}^T\mathbf{A} = \mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^T \mathbf{U}^T\mathbf{U}\mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T = \mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^2\mathbf{V}^T \Rightarrow \\ (\mathbf{A}^T\mathbf{A})\mathbf{V} = (\mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^2\mathbf{V}^T)\mathbf{V} = \mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^2(\mathbf{V}^T\mathbf{V}) = \mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^2 $$ 上式证明使用了: $\mathbf{U}^T\mathbf{U}=I, \mathbf{V}^T\mathbf{V}=I, \mathbf{\Sigma}^T\mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma}^2$。 可以看出 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 的特征向量组成的矩阵的确就是我们SVD中的$\mathbf{V}$矩阵。

证明$\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的$\mathbf{U}$矩阵： $$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T \Rightarrow \\ \mathbf{A}^T=\mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^T \mathbf{U}^T \Rightarrow \\ \mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T\mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^T \mathbf{U}^T = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}^2\mathbf{U}^T \Rightarrow \\ (\mathbf{A}\mathbf{A}^T)\mathbf{U} = (\mathbf{U}\mathbf{\Sigma}^2\mathbf{U}^T)\mathbf{U} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}^2(\mathbf{U}^T\mathbf{U}) = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}^2 $$ 上式证明使用了: $\mathbf{U}^T\mathbf{U}=I, \mathbf{V}^T\mathbf{V}=I, \mathbf{\Sigma}^T\mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma}^2$。 可以看出 $\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 的特征向量组成的矩阵的确就是我们SVD中的$\mathbf{U}$矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系： $$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$$

这样也就是说，我们可以不用 $\sigma_i = \mathbf{A}\vec{v}_i / \vec{u}_i$ 来计算奇异值，也可以通过求出 $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 的特征值取平方根来求奇异值。

2.3 SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为： $$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right)$$ 我们首先求出 $$\mathbf{A^TA} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2& 1 \\ 1& 2 \end{array} \right)$$ $$\mathbf{AA^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 0\\ 1& 2 & 1\\ 0& 1& 1 \end{array} \right)$$ 进而求出 $\mathbf{A^TA}$ 的特征值和特征向量： $$\lambda_1= 3; \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_2= 1; \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{ccc} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right)$$ 接着求 $\mathbf{AA^T}$ 的特征值和特征向量： $$\lambda_1= 3; \vec{u}_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \end{array} \right); \lambda_2= 1; \vec{u}_2 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_3= 0; \vec{u}_3 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{array} \right)$$ 利用 $\mathbf{A}\vec{u}_i = \sigma_i \vec{u}_i, i=1,2$ 求奇异值： $$\left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_1 \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_1=\sqrt{3}$$ $$\left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_2 \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_2=1$$ 当然，我们也可以用 $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ 直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$ 和1.

最终得到A的奇异值分解为： $$\mathbf{A}=\mathbf{U\Sigma V^T} = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \\ 2/\sqrt{6} & 0 & -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)$$

2.4 SVD的一些性质　

上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？ 对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说： $$\mathbf{A}_{m \times n} = \mathbf{U}_{m \times m}\mathbf{\Sigma}_{m \times n} \mathbf{V}^T_{n \times n} \approx \mathbf{U}_{m \times k}\mathbf{\Sigma}_{k \times k} \mathbf{V}^T_{k \times n}$$ 其中k要比m、n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 $\mathbf{U}_{m \times k},\mathbf{\Sigma}_{k \times k} ,\mathbf{V}^T_{k \times n}$ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要黄灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了(A的前k个最大的特征值参与构建A，对于协方差矩阵，特征值就是方差，代表信息。)。 由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

2.5 SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 $\mathbf{X^TX}$ 的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $\mathbf{X^TX}$ ，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。 注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 $\mathbf{X^TX}$ 最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 $\mathbf{X^TX}$ ，也能求出我们的右奇异矩阵 $\mathbf{V}$ 。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。 另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？ 假设我们的样本是 $n \times m$ 的矩阵$\mathbf{X}$，如果我们通过SVD找到了矩阵 $\mathbf{XX^T}$ 最大的k个特征向量张成的 $n \times k$ 维矩阵$\mathbf{U}$，则我们如果进行如下处理： $$\mathbf{Z}_{k \times m} = \mathbf{U}_{k \times n}^T\mathbf{X}_{n \times m}$$ 可以得到一个 $k \times m$ 的矩阵$\mathbf{Z}_{k \times m}$,这个矩阵和我们原来的 $n \times m$ 维样本矩阵$\mathbf{X}_{n \times m}$相比，行数从n减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。

相对的，我们如果进行如下处理： $$\mathbf{Y}_{n \times k} = \mathbf{X}_{n \times m}\mathbf{V}_{m \times k}^T$$ 可以得到一个 $n \times k$ 的矩阵$\mathbf{Y}_{n \times k}$,这个矩阵和我们原来的 $n \times m$ 维样本矩阵$\mathbf{X}_{n \times m}$相比，列数从m减到了k，可见对列数进行了压缩。也就是说，右奇异矩阵可以用于列数的压缩，也就是我们的PCA降维。　　　　

2.5 SVD小结　

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

参考： 1. 刘建平Pinard-奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用。